[The geometry of linear equations] 선형대수 1강

본 정리는 MIT Open course인 선형대수하면 모를 수 없는 

Gilbert strang linear algebra 강의를 기반으로 정리하였습니다.

 

자 시작해보겠습니다!

 

선형 대수(linear algebra)의 근본적 문제는 선형 방정식들(linear equations)의 시스템을 푸는 것이다.

 

n개의 선형방정식(n equations) 와 n개의 미지수(n unknown) 가 있을 때,

equations

(필기한 자료를 기반으로 하겠다.. 악필이라도 이해 부탁드립니다 ㅠㅠ)

 

두개의 방정식을 다음과 같이 matrix 형태로 표현이 가능하며

matrix 형태로 표현을 할 때 다음과 3가지 요소를 알아야한다. (각각용어에 대해서 알아보자!) 

matrix form

 

계수 행렬(coefficient matrix) 

A = [[2, -1],

       [-1, 2]]

 

미지수 벡터(unknown vector)

X = [x

       y]

 

우항 벡터(right-hand side vector)

b = [0

       3]

 

이렇게 어떤 시스템의 선형 방정식을 다음과 같이 행렬 형태로 표현 하였다.

 

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이제 시스템에서 다음 용어들이 의미하는 것들을 알아야 한다!

 

      

- Row Pictures (one equation)

row pictures란 하나의 row(= equation) 방향으로 표현된 방정식을 보는 것이다. 

여기서 두개의 방정식 2x-y = 0, -x+2y = 3 을 통해서

각각이 공간상에서 어떻게 표현되는지 & 무엇을 의미하는지 아는 것이다.

교점(1,2)가 unknown에 해가 된다. (즉, equation 하나씩을 통해 선을 얻고 선들의 교점은 이시스템의 해이다!)

만약 교점이 없다면 이 시스템은 해가 없다.

(b를 변환 = y 절편 이동[y축을 따라 이동] 의 조합으로 2차원 공간의 모든 점[=해] 들을 풀 수 있다.)

 

 

- Column Pictures (one vector)

column pictures란 하나의 col (= vector) 방향으로 표현된 벡터들이 어떻게 공간에 표현되며 각각이 의미하는 바를 이해하는 것이다.

(2,-1) 벡터와 (-1,2) 벡터가 있을때 (0,3) 벡터[b] 를 표현하고 싶을때 

선형 결합을 통해 이를 나타낼 수 있다 (2,-1) + 2*(-1,2) = (0,3) 

벡터앞에 곱해진 상수가 미지수 X의 값들이다.

여기서 즉 벡터들의 선형결합(linear combination)을 통해 우항 벡터를 구할 수 있으면 그 결합이 해이다(우리의 목표)

(밑에 조건 x = all, y = all 일때, A의 column들은 독립적(independent)이기 때문에

선형 결합(linear combination)을 통해 R^2 공간을 표현할 수 있다.)

 

 

- Matrix Form

Row와 Column Picture들로 이루어진 Matrix에 대한 의미를 이해하는 것이다.

 

Row picture & Column picture 둘다 같은 시스템을 표현한 것이기 때문에 결국 해는 같다!

문제를 직선 or 평면[=Row] 등의 방정식으로 볼 것인지, 벡터들의 선형 결합으로 볼 것인지 차이이다.

 

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3차원 Example (A:3x3[3 equations], X:3x1[3 unknowns], b:3x1])

 

- Equation Form

 

 

- Matrix Form

 

 

- Row Pictures ★★★

이 알아보기 힘든 그림을 설명 해보도록 하겠다...

즉 각 row(=equation)들은 3차원 공간에서 평면을 의미하며

3평면의 교점(0,0,1)이 이 시스템의 해가 된다!

 

만약 3개의 row중 2개가 서로 dependent(평행)해서 평면이 2개로 표현이 된다면

2개의 평면은 교선으로 밖에 표현 못함으로 해는 무수히 많은 값을 갖게 된다.

 

 

 

- Column Pictures ★★★★★

3차원 벡터에 선형 결합을 통해 b(0, -1, 4) 벡터를 구해보자!

자세히 보면 col3 = b인 걸 확인 할 수 있다. 

 

row picture에서 힘들게 구한 해가

column picture로 보니 간단한 선형결합(0, 0, 1)로 표현할 수 있음을 확인 하였다.

 

만약 b가 [1, 1, -3]이라면? 

바로 정답이 보이지는 않지만 (1, 1, 0) 선형 결합을 통해 해를 구할 수 있다.

 

 

여기서 교수님이 질문을 하신다

 

"Can I solve Ax=b for every b?"

"Do the linear combinations of the columns fill 3D space?"

 

정답은 "Yes"이다.

 

우리는 그리고 이것을 다음과 같은 용어들로 부른다

For this A, answer is non-singular, invertible, independent

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그럼 우리는 dependent 할때 

Row 와 Column공간에서 이를 어떻게 표현할까? 

굉장히 흥미로운 주제이지 않은가

- Row 공간

위에서 말한대로 independent한 경우 3차원 공간상의 모든 점들을 표현 할 수 있다.

 

1 dependent인 경우: 평면하나를 잃게 됨으로 우리는 3차원 공간을 두개의 평면으로 밖에 표현하지 못한다

즉, 두평면의 교선인 직선 위에 점들로 밖에 표현 못함

 

2 dependent인 경우: 두개의 평면을 잃게 됨으로 3차원 공간을 한개의 평면으로 밖에 표현 못한다.

(더 큰 무한 공간)

 

independent = trivial 

dependent = 무한한 해 공간

 

 

- Column 공간

column 공간 또한 위와 같이 independent한 경우 선형결합을 통해 3차원 공간상의 모든 점들을 표현 할 수 있다.

 

1 dependent인 경우: 벡터축 한개를 잃게 됨으로 두개의 벡터를 통해 만들 수 있는 1개 평면상의 공간의 해만 풀 수 있다.

 

2 dependent인 경우: 두개의 벡터를 잃게 됨으로 남은 한개의 벡터를 통해 표현(muliple)할 수 있는 공간만 풀 수 있다.

 

independent = trivial

dependent = 선형 결합을 통해 표현할 수 있는 공간안에 해가 있으면 가능 아니면 해 vector를 표현할 수 없다.